4поблагодарилиОбратил внимание, что у людей с разным мышлением по разному устроен понятийный аппарат (во загнул). Наверно поэтому кому-то проще понять прямые доводы, кому-то - "от противного", а кому-то помогает графическое изображение.
Что ж, приведу несколько, понравившихся мне рассуждений:
1. После первого выбора вероятность того, что мы ткнули в дверь с автомобилем, составляет 1/3. Если мы не меняем свой выбор, то с этой вероятностью ничего произойти не может - можно произвольно делать что угодно с двумя другими дверями. Исход - удача или неудача - определяется уже в момент выбора.
"Ничего не может произойти с вероятностью" имеет точный смысл. Если мы много-много раз проделаем такую штуку (выберем дверь и будем её держаться, что бы там ни происходило с другими дверями), то примерно в 1/3 случаев мы попадём на автомобиль.
Значит, после того, как одна коза миру явлена, шансы того, что автомобиль за нашей дверью - 1/3. Но тогда вероятность того, что он за ДРУГОЙ дверью - 2/3. Вывод - выбор нужно менять.
2. Первый раз с вероятностью 2/3 мы выбрали комнату НЕПРАВИЛЬНО (коз 2, машина 1). Если мы меняем неправильный выбор, он автоматически станет правильным (второго неправильного уже нет). То есть если выбор менять, с вероятностью 2/3 мы выберем верно.
Вывод - выбор нужно менять.
3. Видеорешение (отрывок из фильма "Двадцать одно (21))":
4. Увеличение количества дверей
Для того, чтобы легче понять суть происходящего, можно рассмотреть случай, когда игрок видит перед собой не три двери, а, например, сто. При этом за одной из дверей находится автомобиль, а за остальными 99 — козы. Игрок выбирает одну из дверей, при этом в 99 % случаев он выберет дверь с козой, а шансы сразу выбрать дверь с автомобилем очень малы — они составляют 1 %. После этого ведущий открывает 98 дверей с козами и предлагает игроку выбрать оставшуюся дверь. При этом в 99 % случаев автомобиль будет находиться за этой оставшейся дверью, поскольку шансы на то, что игрок сразу выбрал правильную дверь, очень малы. Понятно, что в этой ситуации рационально мыслящий игрок должен всегда принимать предложение ведущего.
5. Ключи к пониманию
Несмотря на простоту объяснения этого явления, множество людей интуитивно полагают, что вероятность выигрыша не меняется при изменении игроком своего выбора. Обычно невозможность изменения вероятности выигрыша мотивируется тем, что при вычислении вероятности происшедшие в прошлом события не имеют значения, как это происходит, например, при подбрасывании монетки — вероятность выпадения орла или решки не зависит от того, сколько раз до этого выпал орёл или решка. Поэтому многие считают, что в момент выбора игроком одной двери из двух уже не имеет значения, что в прошлом имел место выбор одной двери из трёх, и вероятность выиграть автомобиль одинаковая как при изменении выбора, так и при оставлении первоначального выбора.
Однако, хотя такие соображения верны в случае подбрасывания монетки, они верны не для всех игр. В данном случае должно быть проигнорировано открытие двери ведущим. Игрок по существу выбирает между той одной дверью, которую он выбрал сначала, и остальными двумя — открытие одной из них служит лишь для отвлечения внимания игрока. Известно, что имеется один автомобиль и две козы. Первоначальный выбор игроком одной из дверей делит возможные исходы игры на две группы: либо автомобиль находится за дверью, выбранной игроком (вероятность этого 1/3), либо за одной из двух других (вероятность этого 2/3). При этом уже известно, что в любом случае за одной из двух оставшихся дверей находится коза, и, открывая эту дверь, ведущий не даёт игроку никакой дополнительной информации о том, что находится за выбранной игроком дверью. Таким образом, открытие ведущим двери с козой не меняет вероятности (2/3) того, что автомобиль находится за одной из оставшихся дверей. А поскольку уже открытую дверь игрок не выберет, то вся эта вероятность оказывается сосредоточена в том событии, что автомобиль находится за оставшейся закрытой дверью.
Более интуитивно понятное рассуждение: Пусть игрок действует по стратегии “изменить выбор”. Тогда проиграет он только в том случае, если изначально выберет автомобиль. А вероятность этого - одна треть. Следовательно, вероятность выигрыша: 1-1/3=2/3. Если же игрок действует по стратегии “не менять выбор”, то он выиграет тогда и только тогда, когда изначально выбрал автомобиль. А вероятность этого - одна треть.
6. И, наконец, графическое решение:
Сообщение от $tr@nnik 
